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Le premier membre ne converge que pour §{(s) > 1, mais le 
second membre nous fournit le prolongement analytique de 
la fonction et nous montre que celle-ci est à droite de Taxe 
imaginaire une fonction méromorphe au même pôle et aux 
mêmes zéros que la fonction Ç(,s) que nous avons étudiée au § 2. 
Passons au cas d’un caractère dilférent du principal. 
Dans ce cas, comme 
mod x{n) = L 
le produit infini du second membre de notre identité est encore 
absolument et uniformément convergent pour $\(s) > 1 et il 
n’y a rien de plus k en dire, mais la série du premier membre 
mérite une attention spéciale, parce qu’elle rentre aisément 
dans la catégorie de celles qui ont été étudiées au § 3. Les 
sommes de ce paragraphe s’étendaient, il est vrai, à tous les 
nombres entiers sans exception, mais cette différence est facile 
à faire disparaître, car, en imaginant que y(n) soit égal à zéro 
quand n etM ne sont pas premiers entre eux, on peut étendre 
les sommes actuelles à tous les nombres entiers comme les 
premières. 
De plus, les séries ainsi formées jouiront des deux propriétés 
caractéristiques signalées au § 3 
1 
% i n ) = %{ n '\ s > n = >d(m°d M), 
cela en vertu des théorèmes 2° et 3° du § 4 et de la manière 
dont nous venons de définir y{n) quand n et M ne sont pas 
premiers entre eux. 
Nous pouvons donc appliquer les conclusions du § 3 et 
énoncer le théorème suivant : 
Pour tout caractère y[ n) différent du caractère principal, la 
série 
^ ' %( n ) 
^ n * 
Tome L11I. 
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