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effet, si l’on considère que le module d’une somme ne peut 
surpasser la somme des modules et si l’on se reporte à l’équa¬ 
tion établie il y a un instant dans le cas du caractère principal, 
on verra que l’on a pour s réel et > 1 les inégalités 
et k qui est un entier positif dans le cas d’un zéro doit être 
égal à l'unité. 
En réalité, on verra plus tard qu’aucune des séries 
y %(”) 
^ n s 
ne peut s’annuler pour $ = 1. Mais nous ne parviendrons à ce 
résultat que par étapes successives. Pour le moment, nous 
allons démontrer que parmi les cp (M) séries 
y %(>0 
^ n s 
il ne peut y en avoir plus d’une seule qui s’annule pour -9=1. 
Pour cela, ajoutons membre à membre les cp(M) équations 
comprises dans l’équation fondamentale (E), en attribuant aux 
caractères leurs différentes valeurs, il viendra, en désignant 
toujours par § une somme étendue à tous les caractères, 
— lini 
s=t 
(s — l)S^DIog 
Aj 
Il est bon de remarquer que dans cette relation on doit 
supposer <fR(s) > 1, sinon l’équation (E) qui sert de point de 
départ cesserait d’avoir un sens dans le cas du caractère 
principal. 
Le second membre de la dernière équation se simplifie, 
car, si 
q = l (mod M), on a 8^ % ( q ) = ? (M) 
