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et cette somme s’annule dans tous les autres cas, en vertu du 
théorème 4° du § 4. 
Désignons donc en général par q { les nombres premiers qui 
vérifient la condition 
c/i = 1 (mod M), 
le second membre de l’équation se réduit à 
j?(M) lim (s 
5=1 
Si maintenant, parmi les séries 
qui se rencontrent dans le premier membre, il y en a X qui 
s’annulent pour s = 1, la valeur du premier membre sera 
1 — X en vertu de nos conclusions antérieures du § actuel et 
l’équation deviendra simplement 
I—l= ? (M)Iin. (s -l)V% 
•=» q\ 
Si l'on suppose s réel et supérieur à l’unité, comme il est 
légitime de le faire, le second membre est essentiellement 
positif, il faut donc que X soit égal à zéro ou à l’unité et il est 
impossible que plus d’une seule série 
y* %(”) 
^ n s 
s’annule pour s = 1. 
Il resterait maintenant à prouver qu’il est même impossible 
qu’une seule série soit dans ce cas, mais il n’y a aucun moyen 
d’établir ce dernier résultat par des considérations du même 
genre que les précédentes et c’est là un fait qu’il nous paraît 
très curieux de constater. Nous réserverons donc cette démon¬ 
stration complémentaire à un paragraphe spécial et nous en 
