c’est-à-dire ceux qui sont compris dans la progression arith¬ 
métique Ma; -f- N, on aura 
-lim(s-08 z x(N')Dlog 
</n 
C’est sur le premier membre de cette équation qu’il faut 
porter notre attention. Si aucune des séries qui y figurent ne 
s’annule, le théorème de Dirichlet sera démontré, car, dans ce 
cas, le premier membre se réduit au seul terme relatif au 
caractère principal, tous les autres étant nuis, et l’on a 
?(M) lim (s — —= — lim (s — 1)D log ^ — = \. 
*=• a <?n •=* * ^ >* s 
Cette équation établit péremptoirement que la somme du pre¬ 
mier membre est illimitée, c’est-à-dire qu’il existe une infinité 
de nombres premiers de la forme linéaire Ma; -+- N. 
L’équation (E ; ) ne permet pas de combler la lacune qui 
subsiste dans la démonstration, mais elle renferme cependant 
encore une conséquence utile. 
Si, par impossible, une seule série 
y %(w) 
s’annulait pour s = 1, par exemple celle qui est relative au 
caractère y k , le premier membre de l’équation (E') se réduirait 
aux deux termes relatifs au caractère principal et au carac¬ 
tère y k . Ces termes sont égaux respectivement à 1 et à — y k (N'), 
de sorte que l’équation nous donnerait 
(L). 
= ?(M) lim (s — 1) ^ 
s=l 
