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Pour s réel et > 1, le premier membre est réel et positif, le 
second membre est donc réel, et par suite, 
(N')-=t I. 
Or, N' étant arbitraire avec N, on voit que le caractère y, : d’un 
nombre quelconque est égal à 1 ou à — 1 suivant ce nombre. 
Ce point établi, nous allons consacrer le paragraphe suivant 
à combler la lacune qui subsiste encore dans notre démon¬ 
stration. 
VIII. 
Il nous reste simplement à démontrer qu’une série 
relative à un caractère autre que le principal et dans laquelle 
y(n) prend successivement les seules valeurs -+- 1 et — 1 ne 
peut s’annuler pour s — 1. 
Supposons §{(s) > 1, on a l’identité 
( 0 . 
Partageons le produit du second membre en deux parties, 
l’une relative à tous les nombres premiers pour lesquels 
y(q) = 1, la seconde à tous les nombres premiers q t pour 
lesquels y{q) = — 1. Il viendra 
