( 26 ) 
Il est utile de remarquer que si, par impossible, tous les 
nombres premiers appartenaient à la catégorie q 2 pour laquelle 
x(q) = •—la démonstration ne deviendrait pas illusoire, 
mais il faudrait remplacer la formule (3) par l’équation toute 
simple 
( 3 ‘).*(*) = !. 
La définition de la fonction par la formule (3) n’est 
légitime que pour (s) > 1, mais la formule (4) nous fournit 
le prolongement analytique de la fonction vers la gauche pour 
«iR {s) > 0 et met en évidence les propriétés analytiques de la 
fonction dans cette partie du plan. 
Rappelons, en effet (§ 5), que la série 
est synectique pour <JR(6*) > 0 et que la fonction A [s) n’a ni 
pôles ni zéros tant que l’on a (s) > 0, nous reconnaîtrons à 
la seule inspection du second membre de l’équation (4) que la 
fonction est méromorphe dans la portion du plan située à 
droite de l’axe imaginaire et ne peut y avoir d’autres points 
critiques que des pôles. Ceux-ci peuvent être soit le point 
s = 1, qui est un pôle de Ç(s), soit les zéros de Ç(2s). Quant à 
ceux-ci, ils ne peuvent avoir, comme nous l’avons vu au § 2, 
leur partie réelle supérieure à 
Cela posé, l’équation (4) met encore en relief deux circon¬ 
stances qui vont jouer un rôle essentiel : 
1° Le point s = i est un zéro pour la fonction <{'($), car 
nous savons (§ 2) que c’est un pôle pour la fonction Ç(2s) et 
ce n’est ni un zéro pour A [s) ni un pôle pour les autres fonc¬ 
tions qui entrent dans l’expression de 
2° Si, par impossible, le point s = 1 .était un zéro pour la 
fonction 
y %m) 
