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Je pôle s = l disparaîtrait pour la fonction et celle-ci 
serait synectique pour toute valeur de s dont la partie réelle 
surpasse 
[1 y a entre ces deux conclusions une contradiction que 
nous allons mettre en évidence. 
Remarquons d’abord que, puisque 
l’équation (3 a ) est impossible, car si l’on avait 
<p (s) = 1 pour <JR(s) > 1, 
<p(s) serait égal à l’unité dans toute l’étendue du plan. Il est 
donc déjà démontré qu’il existe nécessairement des nombres 
premiers de la catégorie q { . 
Soit maintenant a une quantité réelle positive quelconque 
et posons 
s = I -+ a -+- t; 
si la fonction est synectique pour (s) > la fonction 
'■[/ ( i -j- o -+- l ) 
de la variable t sera synectique pour 
& (<) >-(<» + 5). 
elle sera donc aussi synectique dans le cercle décrit de l’origine 
avec (a i) pour rayon, et même sur la circonférence de ce 
cercle, car le seul point douteux serait 
I 1 
t = —■ [a h— 
\ 2 
qui n’est pas un point critique mais un zéro. Donc, en vertu 
d’un théorème classique de Cauchy, la fonction <f(i -h a l) 
