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pourra se développer à l’intérieur de ce cercle et sur la circon¬ 
férence elle-même par la formule de Maclaurin 
^(s) = J'(I -+-« t) = 'i/ (I -+- a) -+- -f(| -4- a) 
r 
*+-••• —- <p' n> 1 ( I ■+• CL) -4- • • • 
m ! 
Pour > 1, on a par la formule (3) 
q t s 
Ce produit se transforme aisément en série. Il suffit de 
remplacer les facteurs (I — rjT s )~ l par leur développement 
légitime 
(1 q~* s -+-•••) 
et d’effectuer les multiplications, on trouve ainsi 
e*)=2-I 
^ n 
la somme s’étendant à tous les nombres n que l’on peut com¬ 
poser au moyen des nombres premiers de la classe q y et où, 
d’après leur mode de formation, tous les coefficients a„ sont 
essentiellement positifs. D’ailleurs, quelque petit que soit le 
nombre positif e, cette série est absolument et uniformément 
convergente pour toutes les valeurs de s dont la partie réelle 
surpasse 1 -4- s. Car la série est convergente pour 5 = 1 + f et 
l’est alors à fortiori pour les autres valeurs de s. Comme en 
outre tous les termes de la série sont des fonctions synectiques, 
on pourra, pourvu que $l(s) soit supérieur à l’unité, se servir 
de la formule (6) pour calculer les dérivées successives de tl(5) 
et cela en différentiant sans scrupule la série terme par terme 
