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autant de fois qu’on le veut (*). Cette méthode peut s’appliquer, 
en particulier, pour calculer les dérivées qui entrent dans la 
formule (5). On trouve ainsi 
a (in) m 
n ^ 
et A m séropositif, puisque tous les coefficients a„ le sont. Il vient 
ainsi en substituant ces valeurs dans la formule (5) 
i (— t) m 
•i(1 + a + t) = ( 1 u) -Ai -4- ••• -+- --A m n- ••• 
1 fw ! 
Dans cette égalité, on peut poser 
car nous savons que la série s’applique sur le cercle de rayon 
a -+- Dans cette hypothèse, le premier membre est égal à <p(£) 
et s’annule, tandis que le second se réduit à une somme de 
termes positifs. La contradiction est donc manifeste et l’hypo¬ 
thèse dont nous sommes partis est fausse, le point s = 1 ne 
peut être un zéro de la fonction 
La démonstration précédente est certainement d’une simpli¬ 
cité remarquable, elle est même plus simple que la démonstra¬ 
tion directe donnée par Dirichlet dans le cas où M est un 
nombre premier (**), et l’on sait que celle-ci ne peut pas 
s’étendre au cas général. 
(*) Voir la note p. 6. 
O Werxe, p. 326. 
