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tend vers une limite quand t tend vers Vinfini, cette limite ne peut 
être différente de Vunité . 
La même conclusion s’applique au rapport 
car on sait que celui-ci ne diffère du précédent que par une 
quantité évanouissante. 
Le raisonnement que nous venons de faire s’applique sans 
changement à l’équation (2) et nous permet d’énoncer cet autre 
théorème : 
Si le rapport 
qui a pour numérateur la somme des logarithmes naturels des 
nombres premiers inférieurs à t et de la forme linéaire Mx h- N 
tend vers une limite déterminée quand t tend vers l’infini , cette 
A 
limite ne peut être différente de — 
Ces théorèmes appellent de nouvelles recherches en vue 
d’établir oui ou non si cette limite hypothétique existe, mais 
la résolution de cette question, si simple en apparence, pré¬ 
sente les plus grandes difficultés. 
Ainsi, le premier des deux théorèmes qui précèdent est déjà 
ancien, et même dans ce cas le plus simple, la question que 
nous venons de poser n’a pas encore reçu jusqu’aujourd’hui de 
réponse satisfaisante (*). 
O Depuis la rédaction du présent mémoire, nous pensons avoir com¬ 
plètement résolu toutes les difficultés dont il est ici question. C'est 
pourquoi, devant bientôt revenir sur ce sujet, nous croyons pouvoir 
nous dispenser de faire ici l’addition dont M. Mansion parle dans son 
rapport. ( Bulletin de U Académie royale des sciences , des lettres et des beaux- 
arts de Belgique , 3 e sér., t. XXXI, p. 19, 1896.) 
