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remplacer, dans l’équation du connexe, x et u respectivement 
par k A \ ■+• kçZ et par XjV -4- X 2 W, ce qui donne 
( I) ÿ — (k x aY -4- A: 2 aZ| m (A,V a -4- A 2 W K ) n = 0 . 
Nous devons exprimer ensuite que cette équation a simulta¬ 
nément une racine double en k { : k t et X, : X 2 , et nous sommes 
conduit aux relations 
(2) 
dv d? 
dk y = °’dk, == ° 
(la 
; — = 0. 
d\ 
dK 
= 0 . 
Ces quatre équations sont équivalentes à trois seulement, à 
cause de la double homogénéité de 0 ; on peut en éliminer les 
k et les X; si v et w sont deux plans passant par YZ et y, z deux 
points de la droite (VW), on sait, d’après ce qui a été dit dans 
les préliminaires, que le résultant comprendra des détermi¬ 
nants symboliques de la forme ( abvw) et (a $yz). La forme que 
l’on obtient ainsi fait correspondre, à toute droite (vw) ou (yz), 
un complexe; seulement nous allons voir qu’on ne rencontre 
ici que des complexes spéciaux. 
Interprétons les calculs précédents : toute valeur de k { : k t 
détermine un point x de la ponctuelle YZ; pour cette valeur 
de ki : k 2 , l’équation (1) est vérifiée par n valeurs de X, : X 2 , dont 
chacune détermine un plan tangent mené par la droite (VVY) à 
la surface T„ répondant à x. 
Si deux de ces plans coïncident, la droite (.VW) est tangente 
à la surface T„; au plan tangent u mené par (VW) à T /( , répond 
une surface S m qui sera tangente à la droite (YZ) si, en même 
temps, l’équation (1) a une racine double en k { : fr 2 ; or les rela¬ 
tions (2) expriment précisément l’existence simultanée d’une 
racine double en k { : k 2 et en X t : X 2 . Donc le couple de droites 
(YZ) et (VW) formant un élément du connexe conjugué réglé 
et déduit de l’élément (x, u) du connexe primitif se compose 
d’une tangente en x à la surface S m répondant à 11 et d’une 
tangente, dans le plan u, à la surface T n qui répond à x. 
25 . Si ?i = 1, les calculs précédents expriment que, pour 
une racine double en 4’, : fc 2 , l’équation cp = 0 est vérifiée pour 
toute valeur de X, : X 2 , ou qu’il existe sur YZ un point formant 
