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élément {x } u) tel que x est un point double de la surface S,„ 
répondant au plan u, et u un plan tangent double à la sur¬ 
face T„ répondant au point x. Ainsi que nous l’avons vu, 
quand le connexe possède un élément pareil, le connexe 
conjugué est doué de la singularité suivante : il contient toute 
la gerbe ayant pour support (, x , u). 
Clebsch a déjà signalé, pour les connexes ternaires, quel¬ 
ques formes spéciales douées de cette propriété, qu’un certain 
point x forme élément du connexe avec toutes les droites du 
plan. Dans l’espace à trois dimensions, pour que le sommet A t 
du tétraèdre de référence forme élément avec tous les plans 
de l’espace, il faut que tous les termes en xT soient nuis, ce 
qui équivaut à 
(n -+- 1)(rc -+- 2)(w *+- 3) 
1.2.5 
conditions. Dans ce cas, l’équation du point y est une identité 
et le connexe conjugué possède un plan v qui forme élément 
avec tous les points de l’espace. 
Une singularité d’un ordre plus élevé et dont on aperçoit 
immédiatement l’influence sur le degré de la liaison (, x , y) et 
par suite aussi sur la classe et l’ordre du connexe conjugué est 
la suivante : les surfaces T„ répondant à tous les points de 
l’espace ont un plan tangent double, c’est-à-dire que le pro¬ 
blème du n° 3 conduit à une indétermination. 
Lorsque ce cas ne se réalise pas, ce n’est que pour certains 
points x que la surface T n a des singularités tangentielles , 
mais pour les autres points de l’espace, cette surface est la 
plus générale de la classe n et possède par conséquent des 
singularités ponctuelles , c’est-à-dire que les coefficients des y 
dans la liaison 
satisfont à certaines conditions, et ce quels que soient les x ; 
par suite, les coefficients des x dans cette liaison satisfont à 
certaines conditions quels que soient les y; ce raisonnement 
nous montre une fois de plus que les surfaces T„, répondant 
