( 22 ) 
point y touche son enveloppe F en un ou plusieurs points x 
dont les surfaces correspondantes touchent en y le plan u, et 
réciproquement la surface T n répondant à un point x de F 
louche en y un plan u auquel répond une surface S m touchant 
F en x. 
De ces propositions et de leurs corrélatives, on déduit les 
théorèmes suivants : 
La surface F relative à un 
point y dans le connexe pri¬ 
mitif est la surface T„, répon¬ 
dant à ce point dans le connexe 
conjugué. 
La surface <t> relative à un 
plan v dans le connexe primi¬ 
tif est la surface § m , répondant 
à ce plan dans le connexe 
conjugué. 
La première de ces propositions a été aperçue par M. Krause 
dans le connexe (2, 1). 
Les énoncés que nous venons de donner s’appliquent à tous 
les cas, parce que nous avons eu soin de définir (n° 10) les sur¬ 
faces F et <t> pour les connexes (m, 1) et (1, n) et parce que 
nous avons étendu aux mêmes cas et dans un sens conforme 
la définition du connexe conjugué. 
Représentons par 
F T 
J X 1 y 
0 
la liaison entre x et y trouvée au n° 6 ; si l’on y regarde les y 
comme constants, elle représente, en coordonnées-points x, 
la surface T„, répondant au point?/ dans le connexe conjugué. 
Écrivons cette équation en coordonnées-plans v et, en appli¬ 
quant les raisonnements du n° 7, nous aurons une équation 
en {y, v) qui représentera, pour v constants, le lieu des points 
y dont la surface T„, touche le plan v , c’est-à-dire que nous 
aurons trouvé l’équation du connexe conjugué. Ainsi la double 
interversion de variables pour passer d’un connexe au connexe 
conjugué peut se faire successivement. 
Nous avons trouvé précédemment que la surface F relative 
à un point y est d’ordre 3 m(n — l) 2 ; en représentant ce nombre 
par [jl, on aurait donc pour la classe n' du connexe conjugué : 
n r — p(p - l) 2 ; 
