( 12 ) 
dant au point x, il faut que u soit en plan tangent double au 
cône de sommet y circonscrit à T n ; ce cône est représenté par 
l’équation ci-dessus, où l’on regarde les X comme des variables, 
et la condition d’un plan tangent double est exprimée par 
l’évanouissement du discriminant de cette équation en X. Ce 
discriminant peut s’écrire sous forme d’un produit symbo¬ 
lique qui contiendra des déterminants ; en vertu du 
principe de translation (n° 3j, il faut remplacer ce déterminant 
par (at.fiyy), ce qui équivaut à la substitution de à 
Le discriminant d’une forme ternaire de degré n est du 
degré 3 (n — \f par rapport aux coefficients de la forme, et 
ceux-ci contenant les x à la m me dimension, le degré de l’équa¬ 
tion résultante par rapport aux x est, en général, 3 m(n — lj 2 . 
Donc 
l'équation en coordonnées- 
points y de la surface T„ répon¬ 
dant à un point x est du degré 
n(n — l) 2 en y et du degré 
3m(n — l) 8 en x. Pour n = 2, 
le résultat est symbolique¬ 
ment 
l'équation en coordonnées- 
plans v de la surface S m répon¬ 
dant à un plan u est du degré 
m(m — l) 2 en v et du degré 
3n(m — l) 2 en u. Pour m = 2, 
le résultat est symbolique¬ 
ment 
(«pyyfa:'b:X l = 0 . 
(abcvYiïàupUy = 0 . 
On voit s’introduire ainsi une liaison (x, y) entre deux séries 
de variables eogrédientes. 
Remarquons que si l’on y remplace y par x , on a une 
surface d’ordre (n — 1) 2 (3 m -h n), lieu des points x qui sont 
situés sur leur surface correspondante T,. 
Cette surface contient la courbe lieu des points x , dont les 
surfaces T„ correspondantes ont un plan tangent double 
passant par x\ car un tel point x vérifie les quatre relations 
du n° 5, accompagnées de l’équation u x = 0, ce qui revient à 
dire que les relations ^1) du présent numéro sont satisfaites 
pour un même système de valeurs des u et de a- (a- = 0) quand 
on y remplace les x et les y par les coordonnées du point 
considéré. Et corrélativement. 
