( 10 ) 
général; de même à toute droite (x, y) répond un complexe 
de droites (u, v). 
Toute équation de la forme ci-dessus sera dite représenter 
un connexe réglé. 
Le connexe conjugué. 
5. Cherchons, dans le connexe général (m, n), 
le lieu des points x dont les 
surfaces correspondantes T n 
ont une singularité telle qu’un 
plan tangent double. 
l’enveloppe des plans u dont 
les surfaces correspondantes 
S m ont une singularité telle 
qu’un point double. 
L’équation du lieu demandé dans le problème de gauche 
résulte de l’élimination des u entre les quatre équations 
d Jn 
du { 
dfàuj) 
du , 
= 0 (* = 1,2, 5, 4); 
le résultant de ces équations est le discriminant de la forme 
a"'ul où les x sont considérés comme constants; il est donc de 
degré 4 (n — l) 3 par rapport aux coefficients de la forme, et 
comme ceux-ci contiennent les x k la m me puissance, l’ordre 
du lieu cherché est, en général, 4m(w — l) 3 . 
Quant au plan tangent double dont il est question dans 
l’énoncé, il doit satisfaire aux équations ci-dessus, et l’équa¬ 
tion de son enveloppe résulte de l’élimination des x entre ces 
quatre égalités; la classe de cette enveloppe est 4 (n — 1 )m 5 . 
Le problème corrélatif va de soi; il a été résolu par 
M. Krause pour le connexe (2, 1). 
Si aux relations précédentes, on joint celle-ci : 
u x == ît,x, u t x^ -+- u 3 x 3 -+- = 0, 
l’élimination des u fournit deux équations qui représentent 
