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Ainsi l’existence du point quadruple réduit la classe de quatre 
unités. 
10. Trois coniques k 2 , kl, kl. — Si un plan tz coupe ces trois 
lignes en six points d’une même conique X, cette dernière peut 
être réunie à kl et à un point A pris en dehors de leurs plans 
par une quadrique F. Réciproquement, si une quadrique F 
passant par A et kl coupe k 2 et kl en quatre points d’un même 
plan 7c, celui-ci coupe F suivant une conique, à moins que F 
ne dégénère en deux plans, savoir le plan de kl et le plan tc , 
mais alors ce dernier passe par A. Cela étant, le problème se 
résout en deux fois : 
1° Par un point fixe B de A 2 , combien peut-on mener de 
quadriques F passant par un point X, autre que B, de k 2 et 
par deux points Y, Z de kl, de manière que le plan XYZ passe 
par une droite donnée d? Soit, sur A 2 , un point C autre que B ; 
le plan (d, C) coupe kl en M et N ; la quadrique F menée par 
ki, A, B, M, N coupe A 2 en trois points D autres que B. 
Inversement, prenons un point D sur A 2 ; les quadriques F 
par kl, A, B, D forment un faisceau et marquent, sur kl, une 
involution I|, tandis que les plans menés par d y marquent 
une involution IJ ; les plans menés par d et par chacun des trois 
couples communs à ces involutions donnent six points C sur 
A 2 ; entre les points C et D, il y a une correspondance (3, 6) et 
neuf coïncidences. 
2° Prenons un point H sur A 2 ; le plan (H, d) coupe kl en P 
et Q et rencontre encore A* en L; la quadrique F, par Aï, 
A, L, P, Q, coupe A 2 en trois points G autres que L. Inverse¬ 
ment, prenons un point G sur A 2 ; d’après le 1°, il y a neuf 
points L de A 2 situés, avec deux points de kl, à la fois dans un 
plan passant par d et sur une quadrique F contenant kl, G, A, 
et chacun des neuf plans (L, d) donne un point H sur A*. Entre 
les points H et G, il existe une correspondance (3, 9) et douze 
coïncidences; mais, comme chaque plan coupe A 2 en deux 
points, ces douze points ne donnent que six plans par d , d’où 
il faut encore exclure le plan (d, A); on voit donc que l’enve¬ 
loppe cherchée est de la cinquième classe. 
