2 
A. A. МАРКОВЪ, О ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОМЪ УРАВНЕНІИ 
уравненія (1) можно разсматривать пять параметровъ 
а, ß, у, 8, & 
ряда 
TP a „ s e _ 1 . ^ v « (« -*• t) ß (ß 1) r (y 1) „2 
£ ( a ) P> T? ê ) 1 §£ 1.2«(fî+l)e(8+l) X 
когда даны a, ß, y, 8, e не трудно опредѣлить a, b, c, â, f. 
Мы имѣемъ въ виду разсмотрѣть нѣкоторые частные случаи, когда порядокъ урав¬ 
ненія (1) можно, такъ или иначе, понизить. 
Для разысканія такихъ случаевъ намъ будетъ служить дифференціальное уравненіе 
(æ 2 ( 1— ж) я)'" — ({ax-+-b)xz)"~ f- ({cx-+-d)z)' — fz — О 
интегрирующаго множителя z для (1). 
Уравненію (5) можно придать видъ 
ж 2 (1 — х ) z " -+- (öj x -+- Ъ г ) xz" -+- (с х x -+- д г ) z -4- f t z— О, 
одинаковый съ (1), и можно получить его изъ (1) посредствомъ замѣны 
a, ß, у, S, s 
соотвѣтственно на 
1— a, 1— ß, 1 — y? 2— S, 2 — e. 
(5) 
§ 2 . Прежде всего займемся опредѣленіемъ тѣхъ случаевъ, когда уравненіе (1) до¬ 
пускаетъ интегралы г/, удовлетворяющіе однородному линейному уравненію, второго или 
перваго порядка, съ раціональными коэффиціентами. 
Въ искомыхъ нами случаяхъ одно по крайней мѣрѣ изъ уравненій (1) и (5) должно 
у 1 
допускать такой интегралъ у : логарифмическая производная — котораго равна раціональ¬ 
ной Функціи отъ х. 
Иначе сказать въ этихъ случаяхъ одинъ, по крайней мѣрѣ, изъ интеграловъ урав¬ 
неній (1) и (5) обращается въ произведеніе цѣлой Функціи на выраженіе вида 
ж х (1— xf, 
гдѣ показатели X и р. числа постоянныя. 
Если такой интегралъ принадлежитъ уравненію (1), то за X можно взять одно изъ 
трехъ чиселъ 
О, 1—8, 1 — s, 
а за [л одно изъ двухъ чиселъ 
О, 8 - 4 - е — a — ß — у- 
