ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАГО РЯДА СЪ ПЯТЬЮ ПАРАМЕТРАМИ. 
3 
Далѣе замѣтимъ, что подстановка х 1 ~* у или x 1 ~ z у на мѣсто у преобразуетъ 
уравненіе (1) въ другое того же вида и что для полученія этого другого уравненія изъ (1) 
достаточно замѣнить 
а, ß, у, 8, s 
соотвѣтственно на 
а+1 — 8, ß 1 — 8, у-4-1— 8, 2 — 8, £-4-1 —а, 
или на 
СС -4— 1 -£, ß -4- 1 — £, у -4- 1 -£, а -4— 1 — £, 2 -С. 
Поэтому, если уравненіе (1) допускаетъ интегралъ 
у = х х (1 — xY /», 
гдѣ f (х) дѣлая Функція отъ х и значеніе X извѣстно, то не трудно указать другое урав¬ 
неніе того же вида, допускающее интегралъ равный 
(1 — х ) !А f(x). 
Подобное же замѣчаніе относится и къ уравненію (5). 
Отсюда видно, что всѣ искомые нами случаи можно вывесть изъ тѣхъ, въ которыхъ 
уравненіе (1) допускаетъ интегралъ равный цѣлой Функціи, или произведенію цѣлой Функ¬ 
ціи на (1 — 
Съ другой стороны мы знаемъ, что среди интеграловъ уравненія (1) находится рав¬ 
ный цѣлой Функціи отъ х тогда и только тогда, когда одно изъ чиселъ 
а , ß, Т 
цѣлое и отрицательное. 
Обращаясь къ тѣмъ случаямъ, когда одинъ изъ интеграловъ уравненія (1) равенъ 
произведенію цѣлой Функціи на (1—а— ß — положимъ 
y = (l—xf и (6). 
Наша подстановка, при 
[А — S-4-e — а — ß — у? 
преобразуетъ уравненіе (1) въ такое 
ж 2 (1— х) 2 и'"-+- х(1 — х)(а 2 х- 4- Ь 2 )и"- 4- (с 2 ж 2 -4- д 2 х+ е 2 ) и- 4- (/ 2 х -4- д 2 ) и = 0 (7), 
гдѣ 
а 2 = а —3;а, Ъ 2 =Ъ, с 2 =3[а([а — 1 )—2 да — с, д 2 =с — д — 2дЬ 
e 2 =à, f 2 ^=g(g — 1) (fx — 2) — ap.([A — 1) — cg — f, g 2 = f—dg 
î* 
(8). 
