6 
A. A. МАРКОВЪ, О ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОМЪ УРАВНЕНІИ 
гдѣ f ( х ) цѣлая Функція отъ х, тогда и только тогда, когда два выраженія, стоящія въ 
различныхъ столбцахъ и строкахъ системы 
й+1—3, ß-*-l —3, у —і— 1—8 
ач-1 — е, ß-f-1 — е, у -+- 1 — г 
числа цѣлыя и положительныя, при чемъ мы не причисляемъ къ положительнымъ числамъ 
нуля. 
Отъ разсмотрѣнныхъ нами случаевъ не трудно перейти къ другимъ, какъ было уже 
выше замѣчено. 
Сопоставляя всѣ возможные случаи, приходимъ къ заключенію, что уравненіе (1) до¬ 
пускаетъ интегралъ вида 
x\\-xYf(x), 
гдѣ f (х) цѣлая Функція отъ х только въ тѣхъ случаяхъ, когда одно изъ чиселъ системы 
а ß Т 
а -+- 1 — 3, ß -+- 1 — 3, у н~ 1 — 8 ► 
а+1 — е, ß-t-1 —е, у-4-1 — г ) 
(П) 
цѣлое и отрицательное или два числа, стоящія въ различныхъ столбцахъ и строкахъ той же 
системы (11), цѣлыя и положительныя; при чемъ нуль мы по прежнему причисляемъ къ 
отрицательнымъ числамъ. 
Замѣняя затѣмъ 
а, ß, у, 8, £ 
соотвѣтственно на 
1-а, 1-ß, 1 — у, 2 — 3, 2-е, 
найдемъ тѣ случаи, когда логарифмическая производная одного изъ интеграловъ уравненія 
(5) обращается въ раціональную Функцію отъ х. 
Въ этихъ послѣднихъ случаяхъ система (11) содержитъ, но крайней мѣрѣ, одно цѣлое 
положительное число, или же два числа, стоящія въ различныхъ строкахъ и различныхъ 
столбцахъ системы (11), будутъ цѣлыми и отрицательными *). 
Итакъ, существованіе по крайней мѣрѣ одного цѣлаго числа въ системѣ (1 ^представ¬ 
ляетъ необходимое гі достаточное условіе для того, чтобы уравненіе (1) имѣло общіе инте¬ 
гралы съ однороднымъ линейнымъ дифференціальнымъ уравненіемъ, коэффиціенты котораго 
раціональныя функціи отъ х, а порядокъ ниже 3. 
*) Къ отрицательнымъ числамъ мы всегда причисляемъ и нуль. 
