8 
A. A. M A P К О В Ъ, О ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОМЪ УРАВНЕНІИ 
тг „ „ ѵ • 
Условіе раціональности логарифмической производной — Функціи ѵ сводится къ тому, 
что сама функція ѵ равна произведенію цѣлой Функціи на выраженіе вида 
» х х (1 — ж) 1 ". 
Слѣдовательно намъ надо найти тѣ случаи, когда между общими интегралами у и z 
уравненій (1) и (5) существуетъ соотношеніе 
__ 2ру" -f- ду' гу 
* х* (1 — ж)И w 
(13), 
гдѣ р , q, г, w цѣлыя Функціи отъ ж, а X и р числа постоянныя. 
Допустивъ же соотношеніе (13) и разсматривая затѣмъ разложенія интеграловъ урав¬ 
неній (1) и (5) по возрастающимъ степенямъ ж, — , 1— ж, не трудно придти къ слѣдую- 
щимъ заключеніямъ. 
Во первыхъ изъ разложеній у и г по возрастающимъ степенямъ ж заключаемъ, что 
или 1) X и е -+- 8 числа цѣлыя, 
или 2) X, 2г и 28 числа цѣлыя, 
или 3) X -н £ и X н- 23 числа цѣлыя. 
Мы не прибавляемъ здѣсь 4-го предположенія: 
X 8 и X -+- 2& числа цѣлыя; 
такъ какъ по существу дѣла оно равносильно 3-му. 
Разложенія по возрастающимъ степенямъ показываютъ, что можно считать 
Хн-р.-*-2а и X -ь [J. -ч- ß -t- у 
числами цѣлыми. 
Наконецъ изъ разложеній по возрастающимъ степенямъ 1 — ж заключаемъ, что 
р и 2(a-f-ß-»~Y — 8 — s) 
числа цѣлыя. 
Сопоставляя всѣ эти заключенія, мы приходимъ къ двумъ новымъ случаямъ: 
I 
а 
-к- , ß -+- у и £ -+-3 числа цѣлыя ; 
И. а — 8-»--^-, & — 28 и ß —»— у — 28 числа цѣлыя. 
Мы исключили здѣсь найденные раньше случаи. 
Надо помнить также, что мы соединили въ одинъ всѣ случаи, которые можно вывесть 
