ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАГО РЯДА СЪ ПЯТЬЮ ПАРАМЕТРАМИ. 
9 
другъ изъ друга посредствомъ перестановокъ въ параметрахъ а, ß, у и въ параме¬ 
трахъ £,8. 
Если а-г--^-, ß— I— у и s —»— S числа цѣлыя, то X можно приравнять нулю; если же 
а — 8 -+- -j- , е — 28 и ß -+- у — 28 числа цѣлыя, то за X можно взять — 28. 
Какъ въ первомъ такъ и во второмъ случаѣ интегрирующій множитель я уравненія 
(1) дѣйствительно связанъ съ его интеграломъ у соотношеніемъ вида (13). 
Чтобы въ этомъ убѣдиться надо только обратить вниманіе на слѣдующее предложеніе: 
если для двухъ рядовъ 
F (а, ß, у, 8, s, ж) и F (а,, ß 15 Ті , 8 1? £ 1? х) 
разности 
а 1~ а » Pi — ß, Tl —T, \ — ві — £ 
числа цѣлыя, то каждый изъ этихъ рядовъ можно выразить линейнымъ образомъ черезъ 
другой и его двѣ первыя производныя, при чемъ коэффиціенты будутъ раціональными 
Функціями отъ х. 
Мы не будемъ приводить здѣсь доказательства этого предложенія во всей полнотѣ; 
отмѣтимъ только простѣйшіе частные случаи 
F( *-*-1, T" 1 -' 1 » s-*- 1 » Х ) = ^(Ж ( F ( a > ß> У’ s ? ж )), 
F (ачь-1, ß, у, 8, z,x)=F{ а, ß, у, 8, е, ж) (а -f- 1, ß -ні, у-г-1, 8н-1, £-»-1,ж), 
ß, У > Ь е > x)=F (а> ß, у, 8, S, g)+ ^ -^(a+l, ß-»-l, у-ні, 8ч-1, £-4-1, ж), 
д • I . ■ t ' » 
изъ которыхъ можно вывести всѣ прочіе при помощи дифференціальнаго уравненія (1). 
Приведенныя нами Формулы обнаруживаютъ существованіе нѣкоторыхъ исключеній. 
Но одни изъ этихъ исключеній устранятся, когда гипергеометрическіе ряды мы замѣ¬ 
нимъ общими интегралами соотвѣтственныхъ дифференціальныхъ уравненій; другія же 
исключенія относятся къ тѣмъ случаямъ, которые мы нашли въ § 2, а въ этомъ § не раз¬ 
сматриваемъ. 
Замѣтимъ еще, что высказанное нами предложеніе представляетъ частный случай 
одной теоремы Е. Гурса, которую можно найти въ его мему арѣ о гипергеометрическихъ 
функціяхъ высшаго порядка *). 
Въ силу этого предложенія уравненіе (5) можно вывесть изъ (1) посредствомъ под¬ 
становки 
_ * = Ху" ч-Х^у'ч- Х 2 у, 
*) Е. Goursat. Mémoire sur les fonctions liypergéométriques d’ordre supérieur. Annales de l’Ecole Nor¬ 
male, 1883. 
Записки Физ.-Мат. Отд. 
2 
