12 
A. A. МАРКОВЪ, О ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОМЪ УРАВНЕНІИ 
Тогда, если исключить только что упомянутый случай, отношенія 
У'г у'г — у\ У'з _ уч Ѵг 2/ 2 ~ Ух У'з ~ У'\ Уз __ ?Фг У"г У"г~У "і У"з _ ы г 
У 2 У 2 —У 1 У 3 « ’ У 2 У 2 — У 1 У* “ ’ У 2 У 2 — У 1 У 3 ы ’ 
У'г Уг — Ух У"з ~ У"і Уз _ Ух 2у' г ?/" г — y' t у" 3 — ?Л __ 2ф 
У 2 Уг — УіУъ ш ’ 2/г Уг ~ Уі Уз 10 
будутъ раціональными Функціями отъ ж. 
Вмѣстѣ съ тѣмъ всѣ интегралы уравненія (1) будутъ удовлетворить слѣдующему диф¬ 
ференціальному уравненію 
«, 
ф 2 > 
Фі> 
У 
ф 2 > 
«1, 
ф» 
У 
Фі* 
ф> 
«2 5 
у" 
У , 
У , 
ff 
У , 
с 
гдѣ С не зависитъ отъ х. 
Заимствуя эти результаты изъ работъ Аппелля, ГальФена и Вессіо*), приведемъ 
здѣсь краткій выводъ. 
Если составить производныя 
t п т ту ѵ 
« , 6) , 6) , G) ? Сд \ 
то въ силу уравненія (1) ихъ можно выразить линейно черезъ 
ö l> ö 2> ?> ?П ?2 5 
причемъ коэффиціенты будутъ опредѣленными раціональными Функціями отъ х. 
Отсюда обратно можно выразить 
линейно черезъ 
t0 2> Ф> Фп ?2 
f ff fff ту у 
м, о, « , о , о‘ ѵ и о , 
причемъ коэффиціенты будутъ также опредѣленными раціональными Функціями отъ х. 
Слѣдовательно при пашемъ предположеніи отношенія 
Ы, Mg ф СР| ф, 
ы ’ ы ’ ы ’ W 5 (й 
будутъ раціональными Функціями отъ х. 
*) Appell. Mémoire sur les équations différentielles linéaires, Annales de l’Ecole Normale, 1881. 
Halphen. Sur un problème concernant les équations différentielles linéaires. Journal de Liouville, 1885. 
Vessiot. Sur l’intégration des équations différentielles linéaires. Annales de l’Ecole Normale, 1892. 
