16 
A. A. МАРКОВЪ, О ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОМЪ УРАВНЕНІИ 
Разсмотрѣвъ такимъ образомъ частный случай, мы можемъ заключить, что и въ 
общемъ случаѣ, когда 
а -*- y , ß у, в 8 
какія нибудь цѣлыя числа, квадратичная Форма 
У 2 У 2 Уі Уз » 
составленная изъ трехъ независимыхъ интеграловъ уравненія (1), можетъ обратиться въ 
раціональную Функцію отъ х. 
Въ самомъ дѣлѣ, если 
«+І, ß Y» £ + â 
числа цѣлыя, то при 
« = — у, ß = ß> T = — § = 8, с = 1 — 8 
всѣ разности 
а — а, ß — ß, у — у, 8 — 8, е —е 
будутъ числами цѣлыми. 
Поэтому, если у означаетъ общій интегралъ предложеннаго уравненія (1), а у общій 
интегралъ того уравненія, которое получается изъ предложеннаго черезъ замѣну а, ß, у, 8, е 
соотвѣтственно на а, ß, у, 8, е, то въ силу вышеупомянутой теоремы мы можемъ связать 
у отъ у Формулою 
у = X/ н- X, у' -+- Х 2 у , 
гдѣ X, Х 15 Х а , опредѣленныя раціональныя Функціи отъ х. 
Отсюда положивъ 
Уі — Ху/' ■+* Xj у/ -н Х 2 v/j , 
У2 Ху а * Xi Ѵ/ 2 I— Х 2 у2 , 
2ф, 
% *Уа ^ І Уз '^ 2 Уз > 
Ш У2 У2 Уі Уз 5 W У2 У2 Уі Уз 5 == Уч У2 Уі Уз » W 2 “ У2 У2 Уі Уз 5 
« 
2= 2УаУ 8 — УіУз — у/ Уз» 2 ?і— 2 у 2 у/ — Ух Уз“ Уі"Уз> 2 ?= 2 у 2 у 2 — у/у 3 "— Уі"Уз'> 
СО = X 2 COg-^-Xj 2 (Oj -+- Х 2 2 со 
-+- 2ХХ, ср н— 2ХХ 2 2 XjX 2 ф 2 > 
выводимъ 
