20 
A. A. МАРКОВ Ъ, О ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОМЪ УГАВНЕНШ 
влечете за собой раціональность логарифмической производной одного изъ интегрирующихъ 
множителей соотвѣтствующаго дифференціальнаго уравненія (1), если только, какъ мы 
предполагаемъ, произведеніе двухъ независимыхъ интеграловъ не можетъ равняться квад¬ 
рату третьяго. 
Мы исключимъ далѣе тѣ случаи, когда логарифмическая производная одного интеграла 
можетъ быть раціональною Функціею отъ х. 
При нашихъ условіяхъ, по крайней мѣрѣ, одно изъ чиселъ 
а, ß, у, а+1—5, ß —1 — S, у —1—§, а1—е, ß -+-1—е, у 1— е 
должно быть цѣлымъ не равнымъ нулю и положительнымъ. 
Пользуясь же извѣстной подстановкой (ж х у на мѣсто у), мы можемъ достигнуть того, 
что одно изъ чиселъ 
ß, Т 
будетъ цѣлымъ и положительнымъ. 
Итакъ, мы можемъ считать а цѣлымъ и больше нуля; если въ системѣ 
а > ß, Т 
не одно, a два или три цѣлыхъ положительныхъ числа, то за а мы возьмемъ наименьшее 
изъ нихъ. 
Сдѣлавъ всѣ эти предположенія, станемъ разсматривать вмѣстѣ съ предложеннымъ 
уравненіемъ (1) тѣ, которыя изъ него выводятся посредствомъ одновременнаго уменьшенія 
параметровъ 
а, ß, у, 8, £ 
послѣдовательно на 1, 2, 3,. . . ., а— 1. 
Для какого угодно изъ этихъ вспомогательныхъ уравненій логарифмическая произ¬ 
водная произведенія двухъ независимыхъ его интеграловъ можетъ быть раціональною Функ¬ 
ціею отъ х тогда и только тогда, когда это возможно для первоначальнаго уравненія. 
Слѣдовательно въ нашемъ изслѣдованіи мы можемъ замѣнить число а на 1, замѣняя 
вмѣстѣ съ тѣмъ 
ß> Y> s > £ 
соотвѣтственно на 
ß — а + 1, у — а -т-1, 8 — а -+-1, е — а-т-1. 
Но при а = 1 два интеграла уравненія (1) обращаются въ обыкновенные гипергеоме¬ 
трическіе ряды 
X х ~ ^ F (ß -+-1 — S, у и- 1 — 8, & — t— 1 — 8, x) 
