22 
Л. А. МАГЕ О ВЪ, О ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНОМЪ УРАВНЕНІИ 
двухъ интеграловъ уравненія ( 1 ) не можетъ бытъ раціональною функціею отъ х , если въ 
системѣ 
I — ß -ну — е — ß —y-H-j 
шшг двухъ цѣлыхъ чиселъ и если притомъ квадратъ одного интеграла не можетъ бытъ 
гѵредставленъ ни въ видгъ произведенія двухъ другихъ независимыхъ интеграловъ , ни въ 
формѣ 
(1 — %У~ f ( х ), 
гдѣ л и [х постоянныя а f (х) цѣлая функція отъ х. 
Замѣтимъ, что ограниченіе, которое нами было сдѣлано для случая, когда два или всѣ 
три изъ чиселъ а, ß, у цѣлыя и больше нуля, въ окончательномъ результатѣ исчезаетъ. 
Подобнымъ же образомъ , предполагая у — г -г-1 цѣлымъ положительнымъ числомъ , 
найдемъ, что для выполненія нашихъ требованій два изъ чиселъ 
^ + a-bß — S + |, ß — а+{ 
должны бытъ цѣлыми. 
Ни въ какихъ другихъ случаяхъ , кромѣ перечисленныхъ нами , логарифмическая про¬ 
изводная квадратичной формы 
« = А у* -+- А 2 у 2 2 -+- И 3 уд 2 -х- 25j у 2 % н- 2£ 2 у, ?/ 3 -+- 2 2? 3 у 2 , 
А ѵ В 1 , /> 2 , />з ѵмсла постоянныя, а у ѵ у 2 , у 3 независимые интегралы уравне¬ 
нія (1), не можегпъ обращаться въ раціональную функцію отъ х. 
Въ случаяхъ § 5, которые мы только что нашли, уравненіе (1) допускаетъ интегриро¬ 
ваніе въ квадратурахъ. 
Интегрированіе уравненія (1) въ квадратурахъ возможно и въ тѣхъ случаяхъ, когда 
условіямъ § 5 удовлетворяетъ уравненіе (2). 
Это будетъ при цѣломъ отрицательномъ значеніи а, если два изъ выраженій 
1 
2 
числа цѣлыя; то же будетъ при цѣломъ отрицательномъ значеніи у — е1, если два изъ 
выраженій 
8н- х , a-4-ß — S-+- * , ß — «-+--* : 
числа цѣлыя. 
Итакъ, кромѣ случаевъ, указанныхъ въ § 2, мы можемъ свести интегрированіе урав¬ 
ненія (1) къ квадратурамъ еще въ двухъ случаяхъ: 
