НОВЫЯ ПРИЛОЖЕНІЯ НЕПРЕРЫВНЫХЪ ДРОБЕЙ. 
17 
найти точные высшій и низшій предѣлы для интеграла 
гдѣ данная функція Ф (; у) такова , что ея производная і-го порядка 
Д*'Ф(у) . 
dif 
фі (у), 
въ промежуткѣ отъ у = 0 до у = 1, сохраняетъ постоянно одинъ и тотъ же знакъ. 
Дѣйствительно, принимая обозначенія § 2 и полагая 
Q [у) = Ф (у )р -— У2 |~ ' ' - Уд_ 
сЬ (ц, \ (У Уі)- • • -(.У ~ У» — і) 
(2/* —2/і)-(2/* — 
можемъ написать такія равенства 
S ф (У) F ( У ) d y — 5 ф (У) /'(!/) d y = J IФ (2/) — Û (У) I і ^ (У) — А*/) I d V 
и 
Ф fr) - Q (у) = (у ~ *> <У - *>•••*-*> w , 
гдѣ мѣняется вмѣстѣ съ ?/, но всегда остается между 0 и 2. 
Слѣдовательно 
J ф (2/) -^(2/)^/ — j ф (2/) Ау) d y = j 0/ і У 2'. ' Г.".Г У/) 1 — Ш\ ф1 (2/) dl J- 
А изъ подъ знака послѣдняго интеграла можно вынесть среднее значеніе множителя 
Ф г (у), такъ какъ произведеніе 
сохраняетъ у насъ постоянно одинъ и тотъ же знакъ: для f(y)=f min и —для 
f(y) = Lax- 
Такимъ образомъ мы приходимъ къ Формулѣ 
$*<i>)FWv=l'*wwy ■*- ( 29), 
гдѣ 
« (у) — (У — Уі) (у — у 2 ) -(2/ — Уі), 
а Ç нѣкоторое среднее число между 0 и I. 
Записки Фнз.-Мат. Отд. 
3 
