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W. Steklüff. 
continue dans (D), \ une constante positive, bien déterminée pour chacune des fonctions 
Vj. [et pour chaque domaine donné (D)]. 
2. Supposons que F^,.(â:= 1, 2, 3, . . . .) satisfont aux conditions 
(3) 
ce qui est toujours possible d’admettre sans restreindre la généralité. 
Considérons les fonctions 1°, 2°, 3°, 6° et 7° du 1. 
On sait que toute fonction f (d’une seule variable dans les cas 1°, 2° et 3°, de deux 
variables dans le cas 6° et de trois variables dans le cas 7°j, satisfaisant à certaines con¬ 
ditions, assez générales, dans un certain domaine (D), se développe en séries uniformément 
convergentes procédant suivant les fonctions dont il s’agit ^). 
Sans rappeler les conditions générales, il nous suffit de remarquer que ce développe¬ 
ment a lieu, pourvu que la fonction f ainsi que ses dérivées de deux premiers ordres restent 
continues dans le domaine (D). 
Ces conditions étant remplies, on a pour les points du domaine considéré 
OO 
i=J 
P désignant une fonction continue et positive. 
De cette égalité on tire, en tenant compte de (1) et (3), 
(4) j pPde=^'^Aj^, 
k = l 
l’égalité ayant lieu pour toute fonction f continue avec ses dérivées de deux premiers ordres. 
Considérons maintenant les fonctions 5°, 8°, 9° et 10°. 
J’ai démontré dans divers Mémoires, cités plus haut, sans m’appuyer sur la possibilité 
du développement d'une fonction donnée en séries des fonctions dont il s'agit, que l’égalité 
(4) a lieu toujours, pourvu que f soit une fonction continue avec ses dérivées de deux pre¬ 
miers ordres. 
En répétant presque textuellement les mêmes raisonnements nous pouvons établir l’éga¬ 
lité (4) pour les fonctions 11° de M. Korn sous les mêmes suppositions par rapport à f. 
Quant aux fonctions 4° de Tchébicheff, l’égalité (4) aura lieu toutes les fois que la 
fonction f soit égale à un polynôme quelconque en x. 
1) Voir, par exemple, Dini: «Sopra la sérié di Fourier», 1872. 
Heine: «Handbuch der Kugelfunctionen», 1878. 
Jordan: «Cours d’Analyse.» T. H, 1894. 
