Sur certaines égalités générales communes a plusieurs séries etc. 
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elle aura lieu nécessairement pour toute fonction f, continue dans le domaine (i)), c'est-à- 
dire on aura 
CO 
j' pf4e = '^A^^, A^ = fpfV^de. 
k = l 
On peut employer, pour la démonstration, la méthode indiquée dans mon ouvrage ; 
«Les méthodes générales pour résoudre etc.» (Kharkow, 1901, p. 251)^), moyennant le 
théorème connu de M. E. Picard sur le développement des fonctions continues en séries 
des polynômes. Mais on peut simpliher les raisonnements, comme l’a remarqué M. Lia- 
pounoff, de la manière suivante: 
Quelle que soit la fonction f, continue dans le domaine (D), on peut toujours construire 
un polynôme P tel qu'on ait en tous les points du domaine (D) 
(10) If—Pl<e, 
£ étant un nombre positif, donné à l'avance. 
C’est le théorème connu, établi pour la première fois par M. Weierstrass pour la 
fonction f ne dépendant que d’une seule variable x. 
On sait maintenant que ce théorème reste vrai pour toute fonction continue f de plu¬ 
sieurs variables indépendantes. 
En entendant par P dans (8) le polynôme ainsi défini, écrivons cette égalité sous la 
forme suivante; 
OO 
j pf4e-*-2 j pf{P—f) de-t- j p(P—ff de = '^ 
kz=i 
où l’on a posé 
= ^k = s 
L’égalité précédente donne 
OO OO OO 
(11) f * rfe — V J/ = 2 <7/ H- 2 ^ J J C; — J (P- f)“ rfe - 2 J f (P— f ) *. 
* = 1 k = l 4=1 
Soient maintenant 
^21 ^3 ’ . . . . , a.^) 
^15 ^2’ 
deux suites de nombres arbitraires, n étant un entier quelconque. 
1) Voir aussi mon Mémoire: «Sur le développement d’une fonction donnée en séries procédant suivant les 
polynômes de Tchébicheff et, en particulier, suivant les polynômes de Jacobi.» Journal fur die reine und angew. 
Mathematik, Bd. 125, 1902, p. 210 etc. 
