buR CERTAINES ÉGALITÉS GÉNÉRALES COMMUNES À PLUSIEURS SÉRIES ETC. 
9 
Ces illégalités donnent, eu égard à (11), 
(13) 
où 
N=-. 2 e ü pde -i- 4yij pde- j ppde 
est un nombre fini positif. 
L’inégalité (13) démontre le théorème, énoncé au début de ce n*^. 
G. Soit maintenant Fy^(Â:= 1, 2, 3, . . , .) une suite quelconque de fonctions, com¬ 
plètement définies dans un domaine donné (D), satisfaisant aux conditions (9) et telles qu’on 
a toujours 
OO 
( 14 ) j2>Ÿde='^A,\ 
k=i 
quelle que soit la fonction ф, continue dans le domaine {D). 
Je démontrerai, dans ce qui va suivre, ce théorème général : 
Si Végalité {14) a lieu pour toute fonction ф, continue dans (D), elle aura lieu néces¬ 
sairement pour toute fonction f qui n’est que bornée et intégrable dans le domaine donné. 
Décomposons (D) en domaines élémentaires 
^ 1 > ^2 > ^3 > ., 
q étant un nombre entier quelconque. 
Désignons par ceux de ces domaines particuliers, où l’oscillation 0^ de la fonction f 
est plus petite qu’un nombre positif e, donné à l’avance, par e. — ceux, où l’oscillation 0. 
de f surpasse e. 
Comme f est intégrable dans (D), on peut choisir une décomposition convenable telle 
qu’on ait 
(15) 
la somme étant étendue à tous les éléments e.^ où l’oscillation 0^ surpasse le nombre e. 
Le nombre e, qu’on peut prendre si petit que l’on veut, étant fixé d’une manière con¬ 
venable, formons une fonction ф, continue dans le domaine {D) tout entier, et telle que l’on 
ait en tous les points de chacun des éléments 
(16) 
3aa. Фиа.-Мат. Отд. 
Ф - 
2 
