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W. Stekloff. 
7 . La simple comparaison du théorème démontré avec celui du n® 5 nous conduit à la 
proposition suivante : 
Si Végalité de la fortne 
OO 
(28) j pP‘de = '^B^\ Bi, = jpPrje, 
k = l 
Г étant un polynôme quelconque en x, y, a lieu pour une suite quelconque de fonctions 
F^(/f= 1, 2, 3, . . . .) satisfaisant aux conditions " 
^ P V^V^de = pour w ^ Ш \ pVjfde = \ , 
elle aura lieu nécessairement pour toute fonction f, bornée et intégrable dans le domaine (D), 
c'est-à-dire on aura 
CO 
J pPde =2 Л = J PfVj^de. 
4 = 1 
Or, nous avons montré que l’égalité (28) a lieu pour chacune des suites de fonctions 
Vpk— 1, 2, 3, ... .), énumérées dans le n® 1 [voir n®2, l’égalité (5)]. 
Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : 
Quelle que soit la fonction f bornée et intégrable dans le domaine (D), on a toujours, 
pour toutes les fonctions V^{k= 1, 2, 3, ....), énumérées dans le n^ 1, le développement 
suivant 
CO 
(29) A = 
4 = 1 
comme si la série 
2 Aï"*. 
4=1 
pouvant n'avoir aucun sens sous les suppositions générales, faites par rapport à la fonction 
f, était non seulement convergente mais encore uniformément convergente. 
Je dois rappeler que ce théorème, dans les cas particuliers des fonctions trigonométri- 
ques et sphériques, a été démontré pour la première fois par M.Liapounoff en 1896—97, 
mais par une méthode tout-à-fait différente de celle que nous venons d’exposer. 
La démonstration nouvelle du théorème de M. Liapounoff (pour les fonctions tri- 
gonométriques) a paru récemment dans le Mémoire de M. A. Hurwitz: «Sur quelques 
applications géométriques des séries de Fourier» (Annales de l’Ecole Normale, Sep¬ 
tembre, 1902). 
