Sur certaines égalités générales communes à plusieurs séries etc. 
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8 . Il est utile de signaler encore un théorème plus général contenant comme un cas 
particulier le théorème du ii® précédent. 
Désignons par (Dq) un domaine quelconque, intérieur au domaine donné (D), et enten¬ 
dons par F,ДA:= 1, 2, 3, . . . .) une suite quelconque de fonctions du n® 1. 
Soit f une fonction bornée et intégrable dans le domaine {D) tout entier, soit ç une 
autre fonction pouvant devenir infinie aux environs de certains points isolés du domaine (Dp), 
mais telle que les intégrales 
\p^V^de, \p(fde, 
Dfj Do Do 
étendues au domaine (D^), aient un sens bien déterminé. 
Multiplions (18) par pa^de et l’intégrons, en étendant l’intégration au domaine (D). 
On trouve 
I pf(fde=yA^Bk-^-\p<^R^de, 
Do * = 1 Do 
OÙ Гоп a posé 
Rk = \ (fc= 1,2,3,....) 
D, 
Or 
où 
ІР'^Вгь^е 
Do 
< 
1 t 
\ f'fde)' pB.^4e) < QVS„, 
Do Do 
^ P <f de 
Do 
est un nombre fixe, ne dépendant pas de n. 
L’inégalité précédente, ayant lieu quel que soit l’indice w, donne [en vertu de l’égalité 
(27) qui reste vraie pour toutes les fonctions Vi^(k = 1, 2, 3, ... .) du n® 1, d après le 
théorème précédent] 
lim ^ P B^de = O, 
n=oo 
Do 
oo 
[ p(^fde = SA^B,^. 
c’est-à-dire 
