Sur certaines égalités générales communes à plusieurs séries etc. 1 9 
Le nombre positif z étant donné à l’avance, on peut trouver un nombre 3, suffi¬ 
samment petit, et un nombre v', suffisamment grand, de façon que l’on ait pour chaque 
point m, intérieur à (ct) 
OO 
oo 
< 
et 
< г pour w>v'. 
I < £, 
car f reste continue à l’intérieur de (a). 
D’autre part, le nombre s étant donné, on peut, d’après le théorème précédent, trouver 
un nombre v>v' et un point m, intérieur à la sphère (a), tels qu’on ait 
V 
k=l 
< £ 
De ces inégalités on tire aisément 
/■(«.) -2 A ПК) 
k=l 
•< 5t 
pour n > V. 
Le théorème suivant est donc démontré; 
La série 
OO 
4=1 
a f pour somme en tous les points d'un domaine (Dq), intérieur au domaine donné {D), si 
elle converge uniformément et la fonction f reste continue dans {D^). 
On peut appliquer ce théorème, qui me semble intéressant par lui-même, à la solution 
du problème de développement d’une fonction donnée en séries procédant suivant les fonc¬ 
tions 1, 2, 3, ... .) du n® 1, comme je l’ai montré, pour la plupart des ces fonc¬ 
tions, dans mes travaux antérieurs, cités plus haut (nn® 1 et 5). 
Mais à présent je puis déduire, dans certains cas, les résultats plus généraux d’une ma¬ 
nière plus simple, sans m’appuyer sur le théorème que je viens d’énoncer. 
J’indiquerai quelques uns d’entre eux dans les nn® 12 et 13. 
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