2 
A. Liapounoff. 
Dans ce qui suit, nous nous proposons d’étudier les équations (1) et (2) eu supposant 
seulement que p est une fonction finie et positive qui ne croît jamais, quand a croît de 0 à J. 
D’ailleurs, loin d’admettre pour p une expression analytique quelconque, nous ne sup¬ 
poserons pas même que ce soit une fonction continue; de sorte que, pour certaines valeurs 
de a, p pourra varier brusquement, et ce pourra même arriver une infinité de fois dans l’in¬ 
tervalle (0, Ä). 
D’après la notion même de densité, la fonction p ne pourra avoir de valeur déterminée 
que là où elle est continue. Donc, en nous plaçant au point de vue général que nous venons 
d’indiquer, nous devons préciser comment nous regarderons p comme une fonction décrois¬ 
sante donnée de a, définie dans l’intervalle (0, Ä). 
Concevons une fonction (p (a) ayant une valeur positive déterminée pour toute valeur 
de a dans l’intervalle (0, A) et ne croissant jamais quand a croît de 0 à ^. 
Cette fonction variant ainsi toujours dans le même sens, on aura, pour chaque valeur 
de a intermédiaire entre 0 et Jt, des valeurs limites déterminées ср(а-н 0) et cp(a — 0), en 
entendant par ces notations, suivant l’usage, les limites vers lesquelles tendent ç (a e) et 
(p (бі — e), lorsque le nombre positif e tend vers zéro. 
Pour ces valeurs limites, on aura toujours 
et si l’on a 
(p (a — 0) > cp (a) > cp (бг -+- 0), 
(p (бі -+- 0) = ip (a — 0), 
la fonction p sera continue pour la valeur considérée de a. Comme on sait, dans tout inter¬ 
valle, quelque petit qu’il soit, il y aura une infinité de pareilles valeurs de a. 
Cela posé, et eu partant d’une fonction p quelconque qui satisfait aux conditions énoncées, 
nous admettrons qu’on ait 
p = p(6ï). 
pour toute valeur de a pour laquelle la fonction p est continue. 
De cette manière la fonction p sera définie pour un certain ensemble de valeurs de a, 
et cet ensemble contiendra une infinité de nombres dans le voisinage de tout nombre a entre 
0 et A. 
D’ailleurs, si l’on fait tendre a vers a, par une suite des valeurs appartenant à cet 
ensemble et toutes inférieures ou toutes supérieures à a, la fonction p tendra vers une limite 
déterminée qui coïncidera avec p(a — 0) ou р(ан-О). 
Quant à la valeur a = a. elle-même, le nombre a étant différent de 0 et de A, la fonc¬ 
tion p n’aura de valeur déterminée que si p (a h- 0) = p (a — 0). Toutefois nous supposerons 
que, dans tous les cas, le symbole p(a) ne peut représenter que des nombres compris entre 
p (a -H 0) et p (a — 0). 
