Sur l’équation de Clairaut et les équations plus générales. 
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Enfin, pour a=: O et pour a = A, nous attribuerons à p des valeurs déterminées que 
nous définirons, en les nommant respectivement po et p^, par les formules 
Po = ?(-^0), Pi = 9(^ — 0). 
C’est ainsi que la fonction p sera supposée définie. 
En ce qui concerne la fonction W qui figure dans l’équation (2), nous la supposerons 
continue dans l’intervalle (0, A). De plus, nous supposerons que la dérivée existe et soit 
continue pour toutes les valeurs de a dans cet intervalle, sauf, peut-être, pour a = 0, quand 
elle pourra devenir infinie, mais cela de telle manière que tende, pour a = 0, vers une 
limite déterminée *). 
daW 
Ainsi W et seront continues dans l’intervalle (0, A); et nous avons montré ailleurs 
que cette circonstance a efiéctivement lieu pour les équations de la forme (2) qui se présen¬ 
tent dans la théorie de la figure des planètes**). 
Dans ces suppositions, nous allons étudier l’équation (2), que nous considérerons eu 
elle-même, eu faisant abstraction de la théorie qui lui a donné naissance. 
I. — Quelques propositions générales. 
1. Afin de faciliter l’exposition ultérieure, nous nous arrêterons d’abord à quelques 
propositions générales dont nous aurons à nous servir dans notre étude. 
Nous commencerons par certaines propositions élémentaires, pour la plupart connues, 
ou, du moins, appartenant à la catégorie de ces propositions presque evidentes dont on ne 
peut pas dire qu’on ne les connaissait pas. Nous croyons toutefois utile de les exposer, pour 
fixer notre point de vue et ne laisser lieu à aucun malentendu. 
Ne considérant que des quantités réelles, désignons par F(x) une fonction quelconque 
ayant une valeur déterminée pour toute valeur de x dans un certain intervalle (a, ß) et y 
limitée (c. à d. ne surpassant pas, en valeur absolue, une certaine limite). 
Puis, en supposant, pour fixer les idées, ß > a, désignons par Æj, des 
nombres quelconques vérifiant les inégalités 
a <x^<x^< ... < x^_^ < ß , 
et posons encore x^ = oc, \ = ß. 
*) Comme la fonction W est supposée continue pour a = 0, cette limite ne pourra, évidemment, être que zéro. 
**) Voir le Mémoire intitulé Recherches dans la théorie de la figure des corps célestes (Mém. de l’Académie 
des Sciences, VIII série, vol. XIV, № 7). 
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