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A. Liapounoff. 
La fonction F [x), qui est limitée dans l’intervalle (a, ß), admettra dans l’intervalle 
nombres 1, 2, 3, ..., n, une limite supérieure et une limite infé¬ 
rieure. Soient donc, pour cet intervalle: L^ sa limite supérieure précise et l. sa limite infé¬ 
rieure précise; de sorte que, étant un nombre quelconque de l’intervalle x^), nous 
aurons 
et chacune des difterences 
L.-Fd,), 
pourra être rendue, par le choix de H-, aussi petite qu’on voudra. 
Cela posé, considérons la somme 
(3) — 
étendue à toutes les valeurs de i dans la suite 1, 2, 3, ,.., w, et supposons que le nombre 
n augmente indéfiniment, tandis que les différences 
O?! a, x^ ajj, . . ., ^n—2 > ß ^f»—1 
tendent toutes vers zéro. 
Pour que cette somme tende, dans les circonstances signalées, vers une limite déter¬ 
minée, indépendante de la loi suivant laquelle varient les nombres x., H., il est évidemment 
nécessaire que, dans les mêmes circonstances, on ait 
(4) lim^ (Li — If) K — x._^) = 0. 
On sait d’ailleurs que cette condition est suffisante, et toutes les fois qu’elle est rem¬ 
plie on pose P 
I F {x) dx = lim^ F ( {x^ — x^_;) . 
C’est la définition la plus usuelle de l’intégrale, et c’est elle que nous adopterons, en 
ce qui concerne le cas où la fonction à intégrer est limitée dans l’intervalle considéré. 
Toute fonction F (x), pour laquelle la condition (4) est satisfaite, sera dite intégrable 
dans l’intervalle (a, ß). 
De cette notion d’iutégrabilité on déduit plusieurs propositions générales, dont les plus 
connues sont les suivantes: 
I. La somme et le produit de deux fonctions intégrables dans un certain intervalle y 
sont encore intégrables. 
