Sue l’équation de Clairaut et les équations plus générales. 
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II. Toute fonction, qui est continue dans un certain intervalle, y est intégrable. 
III. Toute fonction, qui est limitée dans un certain intervalle (a, ß) et qui ne peut 
varier, quand la variable indépendante croît de a à ß, que dans un sens (toujours en crois¬ 
sant ou toujours en décroissant), est intégrable dans cet intervalle. 
On établit aussi facilement cette proposition: 
IV. Si y est une fonction de x intégrable dans l’intervalle (a, ß) et ne pouvant prendre 
que des valeurs comprises entre les nombres l et L, toute fonction de y, qui est continue, 
tant que y, considéré comme une variable indépendante, se trouve dans l’intervalle (/, L), est 
une fonction de x intégrable dans l’intervalle (a, ß). 
On sait que, si F (x) est une fonction intégrable dans un certain intervalle, tout inter¬ 
valle, qui est compris dans celui-ci, quelque petit qu’il soit, contiendra une infinité de valeurs 
de X pour lesquelles la fonction F{x) sera continue. Donc, dans l’expression (3), on pourra 
toujours prendre, pour les des valeurs de x, pour lesquelles F{x) est continue. 
On en conclut que, F {x) et F^ (x) étant des fonctions intégrables dans l’intervalle (a, ß), 
si pour toute valeur de x, pour laquelle la fonction F {x) est continue, on a F^ (ж) = F (ж), 
on aura p p 
J Fj (x) dx = ^ F {x) dx . 
a a 
De là on voit que, si l’on a à considérer une intégrale de la forme 
f F{x)fiy)dx, 
a 
où y = Ф (x) est une fonction croissante ou décroissante, dont toutes les valeurs dans l’inter¬ 
valle (a, ß) sont comprises entre les nombres l et L, f{y) une fonction continue de y dans 
l’intervalle (/, L) et F {x) une fonction quelconque intégrable dans l’intervalle (a, ß), on 
pourra, sans faire intervenir une indétermination dans la valeur de l’intégrale, laisser indé¬ 
terminées les valeurs de cp (x), qui correspondent aux valeurs de x pour lesquelles cette fonc¬ 
tion est discontinue, en supposant seulement que <^{x) se trouve toujours entre les nombres 
cp (æ — 0) et Ф (ж -H 0). 
C’est ainsi que les intégrales que nous aurons à considérer dans la suite, et dans les¬ 
quelles figurera la fonction décroissante p, auront des valeurs déterminées, bien que cette 
fonction ne soit déterminée que là où elle est continue. 
Signalons encore la forme sous laquelle on pourra employer, dans les conditions con¬ 
sidérées, la formule d’intégration par parties. 
Soient f{x) et /j (x) des fonctions intégrables dans l’intervalle (a, ß) et, par suite, in¬ 
tégrables dans tout intervalle qui est compris dans celui-ci. 
