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A. LiAPOüNOFr. 
Alors, si l’on pose 
f f{x)dx-^C= F{x), J* /; {x) dx-t-C, = {x), 
a a 
(7, Cj étant des constantes, F (x) et F^ (x) seront des fonctions continues dans l’intervalle 
(a, ß), et l’on aura 
f F (x) /; (x) Й* = i? (ß) (P) — i? (te) F, (<.) - [ F, (x) f (x) dx, 
a CL 
ce qui est la formule requise. 
2. Soit f (x) une fonction limitée dans l’intervalle (a, ß) et ne variant, quand x croît 
de a à ß, que dans m sens. 
Eu entendant par f (x) une fonction quelconque continue dans cet intervalle et en intro¬ 
duisant les nombres x.^ Н,- du numéro précédent, considérons la somme 
s=2'p‘^.'> 
étendue aux valeurs de i dans la suite 1, 2, 3, . . ., w. 
Nous allons montrer que cette somme tendra vers une limite déterminée toutes les 
fois que, n croissant indéfiniment, les différences 
x, — u, x^ — x,, ..., — ß — 
tendent vers zéro. 
A cet effet nous remarquons qu’on peut écrire 
s = 9 ( P) A P) - cp w /(a) - /-(a) [ ? (I,) - T (a)J - [t (У - î ( Ç,)] 
— f(^) [ф (У — ? (У] — ■ • ■ — /■(*„_,) [<p (5„) — ® — f( P) [ф (P)— Ф (5„)], 
car nous avons admis х^^=а, x^ = ^; et si nous posons encore ^o = a, = ß, nous 
pourrons présenter cette expression sous la forme 
4 
*5 = Ф (ß) Aß) — ? (a) A«) “2 f? ( ’ 
la somme étant étendue à toutes les valeurs de j dans la suite 0 , 1 , 2 , ..., w. 
Pour aller plus loin, posons 
ср(ж) = 9, 
eu entendant par 9 une variable pouvant recevoir toutes les valeurs entre les nombres 9 (a) 
et 9 (ß), et en nous restreignant à cet intervalle, considérons x comme fonction de 9 . 
