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A. Liapounoff. 
Or, si l’on désigne par y] le plus grand des nombres 
IfK) — l/*«)— 
le second membre de l’égalité obtenue ne pourra surpasser en valeur absolue la quantité 
У] I cp(ß) — cp(a)l, 
car, par la nature de la fonction <p (ж), les différences 
tant qu’elles ne sont pas nulles, ont le même signe. 
D’autre part, les différences 
Жі oc, CTg , 
tendant vers zéro, les différences 
3 — ж 
г n—1 
—a, 
H —H 
^2 biî 
et par suite celles-ci 
ж^ —Жо, 
Ж^ — Жі, 
tendront encore vers zéro. 
Donc, la fonction f{x) étant continue, le nombre y) tendra vers zéro, et notre égalité 
donnera 
Ф(Р) 
limS = cp(3)/’(3) — 9 (oc)/’(cc) — I fix)d<^. 
<p(a) 
Ainsi l’on voit que la somme considérée tend bien vers une limite indépendante de la 
loi suivant laquelle varient les nombres x., D’ailleurs, comme on peut prendre, pour les 
Hj., des valeurs de ж pour lesquelles ç (ж) est continue, on voit que cette limite ne dépendra 
point des valeurs qu’on attribue à ф (ж) là où cette fonction devient discontinue. 
Nous poserons 
ß 
(5) lim У 9 (^.) [f (ж,.) — f (ж ._j)] = g 9 (ж) ^f (ж) . 
( 6 ) 
Alors l’égalité que nous venons d’obtenir s’écrira ainsi 
ß <p(ß) 
g 9 (ж) ^f{x) =-- 9 (ß) /'(ß) — 9 (а) f (a) — J f [x] 
<p(a) 
et représentera une certaine extension de la formule d’intégration par parties. 
