10 
A. Liapounoff. 
D’ailleurs les symboles 
g(p(a;) Д/’(а:), g cp (ж) ДДж) 
représenterons des fonctions continues de I dans l’intervalle (a, ß). 
Pour le montrer, nous remarquons que, y étaut un certain nombre intermédiaire entre 
a et ß, on a 
<P(ß) 
[ /■(ж)(^ср =/”(7) [cp(ß) — ?(a)], 
<p(a) 
en vertu de quoi la formule (6) donne 
ß 
(7) g î(a;) àf{x) = y(a) -t- ?(?) [/■(p)_/-(y)]. 
En appliquant cette formule au symbole 
I+V) 
g (p {x) àf{x) 
? 
et tenant compte de ce que f {x) est une fonction continue, ou conclut que ce symbole 
tendra vers zéro toutes les fois que y] tend vers zéro, et sela prouve la continuité dont 
il s’agissait. 
Remarquons que la formule (7) représente une certaine extension de la proposition 
connue sous le nom du second théorème de la moyenne; et on peut lui donner encore une 
autre forme, qui est préférable dans les cas où la fonction ф (x) devient discontinue pour 
æ = a ou pour x=^. 
A cet effet, en supposant pour fixer les idées ß > a, nous nous servirons de l’égalité 
évidente 
9(ß) «P(ß-O) 
[ /■(ж)бгср = | /’(a:)c^(p-+-/’(a) [ф(а-і-О) — Ф(а)] -H Aß) [(pfß) —cp(ß — 0)], 
<p(a) 9(a+o) 
en vertu de laquelle la formule (6) pourra être présentée sous la forme 
ß q>(ß-o) 
g ф (ж) Д/’(а;) = cp (ß — 0) Aß) — ? (а H- 0) A«) — | 
а 9 (а+о) 
