SüR L’ÉqUATION DE ClAIRAUT ET LES ÉQUATIONS PLUS GÉNÉRALES. 
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De là on déduit, comme précédemment, 
ß 
g Ф (x) Af(x) = 9 (te H- 0) [^(f) — fia)] -b 9 ( ß - 0) [f( ß) - f(y)], 
a 
•y étant un certain nombre intermédiaire entre a et ß. Il va sans dire que ce nombre ne sera 
pas, en général, le même que celui désigné par cette lettre dans la formule (7). 
4. Soient «0 et ßo > des nombres tels que, a, ß étant des nombres quelconques véri¬ 
fiant les inégalités 
“o < “ < ß < ßo 5 
les fonctions (p {x) et f{x) satisfassent, dans l’iutervaile (a, ß), aux conditions auxquelles nous 
les avons assujetties, taudis que, pour ж = «o et pour x = ß,,, la fonction f{x) devienne dis¬ 
continue. 
En supposant que la fonction ç (іг) tende pour ж = et pour æ = ßp vers des limites 
déterminées, nous allons examiner comment se comportera le symbole 
ß 
g cp (ж) ДАж), 
a 
quand on fera tendre a vers ocq ou ß vers ßo. 
Supposons que a tende vers «o, ß ayant une valeur fixe. 
Tout d’abord, il est évident que, si la fonction f {x) tend vers une limite déterminée, 
quand æ, tout eu restant supérieur à Kq, tend vers a^, notre symbole tendra encore vers une 
limite déterminée, et que cette limite pourra être exprimée par la formule (5), en y posant 
a = ao et en entendant par f et ç (а^) les limites vers lesquelles tendent f {x) et o{x) 
pour X ~ ao. 
Or supposons maintenant que f {x) n’ait pas de limite pour x = a^. Nous allons montrer 
que, si ç (ao -ь 0) n’est pas égal à zéro, le symbole eu question n’aura pas non plus de limite 
pour a = ao. 
A cet effet nous remarquons que, si la valeur limite f(cc^-t-0) n’existe pas, ou pourra 
assigner un nombre positif l fixe, tel que, si petit que soit le nombre a — ao, ou ait 
I /(“) — A^i) 1 > ^ 
dès qu’on attribue à a^ une valeur convenablement choisie dans l’intervalle (ap, a). 
Cela posé, nous choisirons le nombre a^ de telle maniéré qu’on ait 
( 8 ) 
Aa)-f(aJl = 
2* 
