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A. Liapounoff. 
et qu’en même temps il vienne 
( 9 ) \m—a^)\<i, 
toutes les fois que Kj < ж < a. Cela est toujours possible, la fonction f (x) étant continue, 
tant que a ne devient pas égal à 
En choisissant de cette manière le nombre a^, appliquons la formule (7) au symbole 
^ ? [x) Af{x). 
«1 
Nous aurons 
S cp (x) Af{x) = cp (a^) [/(S) — /'(a,)] -+- ç (a) [/"(a) — Д§)] , 
«1 
O étant un certain nombre intermédiaire entre a, et a, et le second membre de cette égalité 
peut être présenté sous la forme 
T Ы [A^) — A^i)] -b [cp (a) — ç (aJ] [fia) — f{b)] . 
Donc, en vertu de ( 8 ) et (9), il viendra 
g cp {x) Af(x) 
a. 
> ^ { I ? WI — I ? (a) — ? (a,) I }. 
Or, a tendant vers ap, la différence ç (a) — ç (aj) tendra vers zéro et la quantité 9 (aj 
tendra vers le nombre ç (лц-а-О), qui a été supposé différent de zéro. 
Donc le second membre de l’inégalité obtenue tendra, pour a = a^, vers la limite 
l j ф (kq H- 0 ) I différente de zéro, et cela prouve bien que le symbole 
g ? (^) Д/Х^) 
a 
n’a pas de limite pour a = a^. 
Ainsi la condition que f {x) tende pour ж = vers une limite déterminée, la limite de 
cp (x) n’étant pas nulle, est non seulement suffisante, mais encore nécessaire, pour que le 
symbole considéré ait une limite pour a = âq. 
On verra de même que, si 9(^0 — 0 ) n’est pas égal à zéro, la condition nécessaire et 
suffisante pour que, ß tendant vers ßp , notre symbole tende vers une limite déterminée con¬ 
siste en ce que la fonction f (x) ait une limite pour x = ßp. 
