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A. Liapounoff. 
se réduise à une coustaute dans tout intervalle partiel, dans lequel la fonction f{x) est con¬ 
tinue, et si la fonction f{x) se détermine par cette condition à une constante additive près, 
nous entendrons par le symbole 
ü 
(10) §9(ж)Д/’(ж) 
a 
le symbole 
fi 
S ? (^) ’ 
a 
qui aura alors une valeur parfaitement déterminée. Dans le cas contraire, du moins dans la 
supposition que nous avons faite à l’égard de (^{x), nous n’attribuerons au symbole (10) 
aucun sens. 
6 . Il est facile de voir que, si pour la fonction f{x) la condition d’être déterminée à 
une constante additive près est remplie dans l’intervalle (a, ß), elle le sera encore dans tout 
intervalle qui est compris dans celui-ci. 
En effet, supposons que l’intervalle (a, ß) se décompose en les trois suivants 
(a, aj, («1, ßi), (ßi, ß), 
et que pour l’intervalle (aj, ßj on ait trouvé, outre la fonction f^{x), encore une autre fonc¬ 
tion continue /*2(2:) jouissant de la même propriété, de sorte que la différence 
se réduise à une constante dans tout intervalle partiel, compris dans celui (aj, ß^), et dans 
lequel la fonction f{x) est continue. 
Considérons alors la fonction (ж) définie dans l’intervalle (a, ß) comme il suit: 
pour l’intervalle (a, a,), {x) = f {x) -4- /; (aj) — f (a J, 
» » («1, ßi), = 
» » (ßi^ ß)^ /’з(^) =/’i(«)-+-f2(ßi) —/Kßi)- 
Ce sera, évidemment, une fonction continue dans l’intervalle (a, ß), et la différence 
se réduira à une constante dans tout intervalle partiel, dans lequel la fonction f {x) est 
continue. 
