Sue l’équation de Clairaut et les équations plus générales. 
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Doue, si la condition dont il s’agit est remplie dans l’intervalle (a, ß), la différence 
/3 (^) — fl (^) doit se réduire à une constante dans cet intervalle tout entier, et cela ne peut 
avoir lieu que si la différence f^{x) — f^{x) se réduit à une constante dans l’intervalle (a^, ß,). 
Il résulte de cette remarque que, si le symbole (10) a le sens, les symboles 
g ср(ж) ДДж), §ф(ж)Д/’(ж) 
« ? 
en auront encore, quel que soit le nombre H appartenant à l’intervalle (a, ß). 
Mais quelles sont les conditions pour que le symbole (10) ait un sens? En d’autres 
termes, quelles sont les conditions que doit remplir la fonction f{x) pour qu’on puisse trouver 
une fonction /’і(ж), jouissant des propriétés signalées et déterminée dans l’intervalle (a, ß) à 
une constante additive près? 
Tout d’abord il est évident que, pour que la fonction f^{x) existe, il faut que, dans tout 
intervalle (aj, ßj dans lequel la fonction f{x) devient discontinue seulement pour les valeurs 
extrêmes, x = cx.^ et ж = ß, , cette fonction tende vers des limites déterminées, quand x tend 
vers Kj ou vers ß^. 
D’autre part, pour que la fonction f^{x) soit déterminée dans l’intervalle (a, ß) à une 
constante additive près, cet intervalle ne doit contenir aucun intervalle, si petit qu’il soit, 
où l’on ne puisse indiquer des intervalles partiels, dans lesquels la fonction f {x) fût continue. 
En effet, s’il existait un pareil intervalle, la fonction (x) y pourrait se réduire à une 
fonction continue arbitraire. Elle ne serait donc pas déterminée dans l’intervalle (a, ß) à une 
constante additive près. 
Les deux conditions que nous venons d’énoncer sont donc nécessaires pour que le sym¬ 
bole (10) ait un sens. Mais elles ne sont pas encore suffisantes. 
Dans certains cas déterminés on pourrait signaler des conditions nécessaires et suffi¬ 
santes de cette espèce. Mais nous ne nous y arrêterons pas, car pour l’objet de notre Mémoire 
la recherche de pareilles conditions ne serait d’aucune importance. 
7. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que ф (ж — 0) et cp {x -4- 0) ne s’annu¬ 
laient pour aucune valeur de x dans l’intervalle (a, ß). Or, s’il en était autrement, on pour¬ 
rait, dans certains cas, attribuer un sens au symbole 
ß 
(10) g cp (ж) ДАж) , 
a 
quand même la fonction que nous avons désignée par f^{x) n’aurait pas existé. 
Pour ce qui va suivre, il suffit de se borner au cas où ф(ж— 0) et ср(ж-+-0) ne peuvent 
s’annuler dans l’intervalle (a, ß) que pour x — a. ou pour ж = ß. 
3an. Физ.-Мат. Отд. 
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