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A. Liapounoff. 
Plaçons-nous donc dans ce cas, en supposant, pour fixer les idées, que l’on ait a < ß et 
^(ß — 0) = 0. 
Si la fonction f^{x) existait dans l’intervalle (a, ß), le symbole (10) serait égal à la 
limite, vers laquelle tendrait le symbole 
î 
(11) §9(а:)ДДя:), 
a 
quand le nombre appartenant à l’intervalle (a, ß), tend vers ß. Or, (p(ß — 0) étant 
égal à zéro, le symbole (11) peut avoir une limite pour H = ß même dans le cas où 
la fonction tout en existant dans l’intervalle (a, H) tant que ^ < ß, cesse d’exister 
pour H = ß • 
Cela posé, nous entendrons par le symbole (10) la limite du symbole (11), E tendant 
vers ß, dans tous les cas où cette limite existe. Dans tous les autres cas, le symbole (10) sera 
considéré comme dénué de sens. 
On voit que la nouvelle extension de la notion de notre symbole est encore de telle 
nature que, si le symbole (10) a une valeur déterminée, les symboles 
g cp {x) Af{x), g op (ж) Af{x) 
CL I 
seront dans le même cas, quel que soit le nombre ^ de l’intervalle (a, ß). 
On voit d’ailleurs que ce seront des fonctions continues de ^ dans cet intervalle, véri¬ 
fiant l’égalité 
Ç ß ß 
g cp (x) Af{x) -t- g ç (ж) Af(x) = g ç (æ) Afix). 
a f CL 
'b 
8. Nous avons déjà remarqué que, si la dérivée f'{x) existe et est une fonction continue 
de X dans l’intervalle (a, ß), on a 
ß ^ 
(12) J cp (x) f{x) = g cp (x) Af{x ), 
a a 
et l’on voit facilement que cette égalité subsistera encore, si la dérivée f{x), sans être con¬ 
tinue, est seulement intégrable dans l’intervalle (a, ß). 
Considérons maintenant le cas où la dérivée i'{x) devient infinie dans cet intervalle, en 
supposant toutefois que la fonction f{x) y soit continue. 
