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A. Liapounoff. 
représentera ce qu’on entendra dans le cas considéré par l’intégrale 
(17) 
J cp (æ) f (x) dx. 
Plus généralement, la dérivée f\x) pouvant devenir infinie dans l’intervalle (a, ß) un 
nombre quelconque de fois, supposons que, y étant un certain nombre intermédiaire entre 
a et ß, on ait déjà établi que les égalités (13) subsistent quelque petits que soient les nombres 
positifs £ et У). 
Alors, si Гоп convient d’entendre par les intégrales (14) les limites, vers lesquelles 
tendront, pour z = 0, y] — 0, les intégrales figurant dans les égalités (13), on eu déduira 
les égalités (15), et si l’on convient ensuite d’entendre par l’intégrale (17) l’expression (16), 
on parviendra de nouveau à l’égalité (12). 
En appliquant continuellement ce procédé, on pourrait étendre la notion d’une intégrale 
à des cas très généraux, où la fonction à intégrer pourrait devenir infinie entre les limites 
de l’intégrale une infinité de fois, et en même temps, en ce qui concerne les intégrales de 
la forme considérée, on pourrait étendre à de pareils cas l’égalité (12). 
Nous avons supposé dans ce qui précède que la fonction f (x) ne devenait pas discon¬ 
tinue dans l’intervalle (a, ß). 
Or, si l’on rejette cette supposition, en admettant seulement que le symbole 
ß 
gcp(æ) àf{x) 
a 
ait un sens déterminé, le sens de l’intégrale (17) deviendra, en général, illusoire. Ou ne 
pourra donc rien dire. 
Toutefois, dans certains cas simples de cette espèce, on pourra encore employer la 
méthode précédente, et dans tous les cas où le procédé que nous avons employé suffirait pour 
fixer le sens de l’intégrale (17), on serait amené à admettre l’égalité (12). 
Après ces généralités, passons à notre objet. 
ii. — Considérations générales sur les équations en question. 
9. Reportons-nous à l’équation (2). 
Si l’on ne veut introduire à priori aucune supposition sur la nature de la fonction 
inconnue Z, ou doit d’abord préciser ce qu’on va entendre par cette équation. 
