Sur l’équation de Clairaut et les équations plus générales. 
21 
Or, d’après ce que nous venons de dire, il est naturel de considérer cette équation 
comme celle de la forme 
(18) 
2m ■ 
et c’est ainsi que nous la concevrons. 
Cela posé, nous exigerons que l’équation (18) soit véridée pour toute valeur de a inter¬ 
médiaire entre O et ^. Quant à ces valeurs extrêmes, nous les considérerons comme des 
valeurs limites. 
Par suite de cela, la fonction z devra être telle que les symboles, qui figurent dans 
l’équation (18), aient des valeurs déterminées pour toute valeur de a intermédiaire entre 
O et J; et de là, d’après ce que nous avons remarqué à la fin du n** 7, on conclut que le 
symbole 
8рД(«“-г) 
devra représenter une fonction continue de a, au moins tant que a ne devient pas égal à A, 
et que le symbole 
(19) §рД(а'-'"г) 
a 
devra être une fonction continue, au moins tant que a ne se réduit pas à zéro. 
Il en résulte, eu égard à ce que la fonction W a été supposée continue dans l’inter¬ 
valle (O, A), que la fonction cherchée z sera nécessairement continue pour toute valeur de 
a intermédiaire entre O et 
D’ailleurs, si la valeur de p pour a = A n’est pas égale à zéro, la fonction z doit 
tendre pour a = A vers une limite déterminée, car autrement le symbole (19) n’aurait pas 
de sens. Nous verrons du reste que cela aura lieu dans tous les cas. 
Nous allons maintenant montrer que la fonction z admettra une dérivée ^ pour toute 
valeur de a intermédiaire entre O et A. 
10 . En attribuant à a une valeur quelconque intermédiaire entre O et ^ et désignant 
par h un nombre assez petit en valeur absolue, considérons les résultats de la substitution 
dans l’équation (18) de cette valeur de a et de la valeur a h- /г. 
Si l’on introduit pour les fonctions W, p les notations 
p(«), 
z{a)y W (a ), 
