Sur l’équation de Clairaut et les équations plus générales. 
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Doue, comme on a 
lim 
(2m-t-l) h 
la quantité qui figure à la première ligne de l’expression de B tendra pour h —O vers zéro. 
Il est facile de voir qu’il en sera de même de la quantité qui figure à la deuxième 
ligne. 
En effet, cette quantité peut être exprimée par la formule 
( 21 ) 
^p(a+A) 
P (a) 
(2m-b 1) h 
/dp, 
où a, Z désignent ce que deviennent a, z, comme fonctions de p, lorsqu’on remplace p par p'. 
Or on peut supposer que toutes les valeurs de a sous le signe de l’intégrale appar¬ 
tiennent à l’intervalle (a, a /г); et dans cette supposition, \h \ étant au-dessous d’une cer¬ 
taine limite, la fonction à intégrer ne surpassera pas, en valeur absolue, un certain nombre 
fixe, quelque petit que soit h. 
D’autre part, nous avons déjà remarqué qu’on peut entendre par p(a) un nombre quel¬ 
conque de l’intervalle (p(a -ь 0), p (a — 0)), et l’on voit que l’expression (21), où la fonc¬ 
tion à intégrer s’annule pour a = a, ne dépend point du choix de ce nombre. 
On peut donc entendre par p (a) la limite vers laquelle tend, pour le signe choisi de h, 
la quantité р(а-і-й), et dès lors il devient évident que l’intégrale (21) tendra vers zéro 
pour Ji = 0. 
Ainsi on parvient à la conclusion que R tendra vers zéro avec h, et cela quel que soit 
le signe de h. 
dW 
Par suite, eu égard à ce que nous avons supposé l’existence de la dérivée tant que 
a n’est pas égal à zéro, l’égalité (20) fait voir que le rapport 
z(a-i-h) — г (a) 
h 
tendra pour h = 0 vers une limite déterminée et indépendante du signe de h. 
Donc la dérivée ^ existera pour toute valeur de a intermédiaire entre 0 et Ä, et l’on 
voit qu’elle sera donnée par l’équation 
( 22 ) 
m —jji— 
a 
2m 1 
da^W 
11. Nous avons admis que la dérivée ^ reste continue, tant que a ne devient pas égal 
à zéro. Eu égard à cette circonstance, l’équation (22) fait voir que la dérivée ^ sera con¬ 
tinue, au moins tant que a n’atteint pas ses valeurs extrêmes, 0 et Ä. 
