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A. Liapounoff. 
Toutes ses fonctions seront continues dans l’intervalle (0, A), car, en vertu des suppo¬ 
sitions que nous avons faites à l’égard de W, la fonction 
a^fV 
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pa*cta 
sera continue dans l’intervalle (0, A), et d’après ce que nous venons de montrer, la fonction 
J (mJ sera continue dans le même intervalle, si la fonction y est continue. 
Donc la fonction — ^n—i’ que soit n, sera encore continue dans l’intervalle 
(0,A), et nous pourrons appliquer à l’expression J(u^ —l’inégalité (29), ce qui donnera 
étant une limite supérieure, dans l’intervalle (0, A), pour la valeur absolue de la fonc¬ 
tion - \—i‘ 
Or la relation (30) donne 
Nous aurons donc 
1I <C O - ^ V AT 
I п-ы n I ^ 2in Ч- 1 « 
et, par suite, 
(31) l“«*,-«J<(siï^)"^f.. 
Nous remarquons maintenant que, l’entier m étant supposé supérieur à 1,1e nombre 
2 ~^ sera plus petit que 1 : il ne surpassera pas même y. 
Par suite de cela, l’inégalité (31) fait voir que la série 
^0 (^1 — %) (Щ — “i) K — Wa) • 
sera absolument et uniformément convergente dans l’intervalle (0, A) ; et comme la somme 
de ses № -I- 1 premiers termes se réduit à , ou voit que, n croissant indéfiniment, tendra 
vers une certaine limite, et cela uniformément pour toutes les valeurs de a dans l’intervalle 
(0, A), ce qui assure que cette limite représentera une fonction de a continue dans l’inter¬ 
valle (0, A). 
Cela posé, il est facile de voir que la fonction ainsi définie satisfera à l’équation (27). 
