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A. Liapounoff. 
7 Vinsi la fonction w sera telle que la dérivée sera continue dans l’intervalle (0,yl) 
tout entier. 
Nous verrons dans ce qui suit que la solution w ^ que nous venons de définir imur 
m'^ 1, est, dans ce cas, la seule possible. 
IV. — Examen d’un cas particulier important. 
18. Nous nous arrêterons maintenant au cas où la fonction W se réduit à 
N étant une constante. Si m = 2, ce sera le cas de l’équation de Clairaut. 
Nous allons donc considérer l’équation 
(33) 
2m ■ 
J P da 
da — 
a 
m +1 
2m -H 1 
da^-^'z 
da 
da = N 
et nous la traiterons par une méthode différente de celle que nous venons de développer. 
A cet effet reportons-nous à ce qui a été montré aux numéros 10 et 11. 
Nous avons vu que toute fonction z qui vérifie l’équation (2) vérifiera aussi celle (23), 
et cette dernière équation se réduit dans le cas considéré à 
Ctt 
(34) (^mz-i-a ^ P a^da — p da = (2m-h-1) Na 
En éliminant entre les équations (33) et (34) l’intégrale 
a 
on en déduit encore celle-ci 
(35) 
f“ da”^^z . . 
et l’on voit que toute fonction z qui vérifie les équations (34) et (35) vérifiera aussi celle (33). 
Pour aller plus loin, supposons d’abord que p soit une fonction continue de a. 
