Sur l’équation de Cl ai r ad t et les équations plus générales. 
35 
Dans ce cas, les intégrales qui figurent dans les équations (34) et (35) admettront 
des dérivées, et chacune de ces équations fait voir que la fonction z admettra la seconde 
dérivée moins tant que a n’est pas égal à zéro. On voit d’ailleurs que cette dérivée 
sera exprimable au moyen de z et car, si l’on considère, par exemple, l’équation (35) 
et qu’on la différentie après l’avoir multipliée par a*”, on en déduira 
[m{m-^\)ar-^z - Ç^a4a — = O, 
0 
ou bien 
O 
et l’on obtiendrait le même résultat en partant de l’équation (34). 
Nous parvenons ainsi à une équation différentielle linéaire du second ordre. C’est 
l’équation qui, dans le cas de m = 2, a été signalée encore par Clairaut, et qui, pour 
w > 2, a été obtenue pour la première fois par Legendre. 
Rejetons maintenant la supposition que la fonction p soit continue dans l’inter¬ 
valle (0, Ä). 
Alors l’équation ci-dessus n’aura lieu que pour un certain ensemble de valeurs de a, 
et en général, au lieu de cette équation, nous aurons deux équations que nous allons écrire 
à l’instant. 
En entendant par 
U = f{a) 
une fonction quelconque de a, considérons le rapport 
f(a-*-h)— f{a) 
h ’ 
et supposons que h tende vers zéro en conservant son signe. Si ce rapport tend vers une 
limite déterminée, nous conviendrons de désigner cette limite: dans le cas de /< > 0 par 
du 
da 
-t- 
et dans celui de /г < 0 par 
du 
da * 
5* 
